додати матеріал


Абелеві універсальні алгебри

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Курсова робота

"Абелева універсальні алгебри"

Зміст

Введення

1. Основні визначення, позначення і використовувані результати

2. Властивості централізаторів конгруенції універсальних алгебр

3. Формаційні властивості нільпотентні алгебр

4. Класи абелевих алгебр та їх властивості

Висновок

Список літератури

Введення

Теорія формацій алгебраїчних систем, як самостійний напрям сучасної алгебри, початок розвиватися порівняно недавно, наприкінці 60-х років минулого сторіччя. Зазначимо, що за наступні чотири десятиліття в таких класичних галузях дослідження, як групи, кільця, алгебри Лі, мультікольца і т.д. формаційні методи одержали досить широкий розвиток. У теорії ж універсальних алгебр формаційні методи не знаходять такого широкого застосування, що, в першу чергу, пов'язано зі складністю самого об'єкта досліджень. Тому отримання нових результатів, що стосуються формаційних властивостей універсальних алгебр, становить безсумнівний інтерес. Саме цьому завданню присвячується справжня реферат. Тут на основі визначення централізаторів конгруенції, введеного Смітом, дається визначення абелевоі алгебри і доводиться основний результат, що клас всіх універсальних абелевих алгебр з Мальцівське різноманіття утворює спадкову формацію. Також розглядається і властивості абелевих універсальних алгебр.

Перейдемо до короткого викладу результатів курсової роботи, яка включає в себе введення, чотири параграфа і список цитованої літератури з восьми найменувань.

1 є допоміжним. Тут наводяться основні визначення, позначення та результати, використовувані надалі.

2, 3 носять реферативний характер. Тут докладно з доказами на підставі результатів робіт [1] та [2] викладається теорія централізаторів конгруенції універсальних алгебр і розглядаються формаційні властивості нільпотентні алгебр роботи [3]. Відразу ж відзначимо, що всі розглянуті універсальні алгебри належать фіксованої Мальцівське різноманіття.

В 4, який є основним, на підставі результатів 3 Введення поняття абелевих алгебри. Використовуючи методи дослідження роботи [1] доводиться наступний основний результат: клас всіх універсальних абелевих алгебр з Мальцівське різноманіття утворює спадкову формацію.

1 Основні визначення, позначення і використовувані результати

Наведемо визначення основних понять, що використовуються в даній роботі із джерел [1] та [2]. Для введення поняття алгебрами необхідно спочатку визначити -Арні операції.

Визначення 1.1. Якщо - Непорожня безліч і , То -Арної операцією на безлічі назвемо відображення прямого добутку в . Розглядаються і -Арні операції, які за визначенням, відзначають деякий елемент з .

Визначення 1.2. Пара , Де - Непорожня множина, а (Можливо, нічого) безліч операцій на , Називається універсальною алгеброю або, коротше, алгеброю.

Сукупність операцій (або опрераціонних символів) будемо називати сигнатурою. Часто, при введенні алгебри, указують тільки безліч і не вказують сигнатуру.

Елемент алгебри відзначається -Арної операцією . будемо позначати через .

Визначення 1.3. Підмножина називається подалгеброй, якщо для всякої -Арної операції ,

а якщо і - -Арная операція з , То

Визначення 1.4. Якщо , - Алгебри сигнатури , То пряме твір

ставати алгеброю тієї ж сигнатури, якщо для кожної -Арної операції покласти

а для -Арної операції , Де , -

Виникаюча таким чином алгебра називається прямим добутком алгебр .

Наведемо деякі визначення з

Визначення 1.5. Відображення з алгебри в алгебру називається гомоморфізмом, якщо для будь-яких елементів і будь-який -Арної операції ( ) Справедливо рівність

Якщо ж - Нульарная операція, то вважаємо

Взаимнооднозначное гомоморфізм алгебри на називається ізоморфізмом і позначається . Гомоморфізм алгебри в себе називається ендоморфізмом алгебри . Ізоморфізм алгебри в себе називається її автоморфізмом.

Визначення 1.6. Конгруенції на алгебрі називається всяка подалгебра прямого квадрата , Що володіє наступними властивостями:

1) (рефлексивність): для всіх ;

2) (симетричність): якщо , То ;

3) (транзитивність): якщо і , То .

Зазначимо, що умови 1) - 3) означають, що - Еквівалентност' на безлічі .

Визначення 1.7. Нехай - Гомоморфізм алгебри в . Ядром гомоморфізму називається підмножина

В роботі [3] наводяться такі теореми про ізоморфізму

Теореми 8 Ядро гомоморфізму є конгруенції.

Визначення 1.8. Якщо - Конгруенція на алгебрі і , То безліч

називається класом конгруенції . Безліч всіх класів конгруенції позначають через . При цьому для кожної -Арної операції вважають , А для -Арної операції , Де , - . Отриману алгебру називають фактор-алгеброю алгебри по конгруенції .

Теорема Перша теорема про ізоморфізму 8 Якщо - Гомоморфізм алгебри в , То

Теорема Друга теорема про ізоморфізму 8 І конгруенція на алгебрі , - Подалгебра алгебри . Тоді

Визначення 1.9. Якщо , - Конгруенції на алгебрі і міститься в , То позначимо

і назвемо фактором алгебри або фактором на .

Теорема Третя теорема про ізоморфізму 8 І - Фактор на алгебрі . Тоді

Визначення 1.10. Якщо і - Конгруенції алгебри , То вважають

Теорема 8 творів двох конгруенції є конгруенції тоді і тільки тоді, коли вони перестановки.

Визначення 1.11. Клас алгебраїчних систем називається формацією, якщо виконуються наступні умови:

1) кожен гомоморфний образ будь -Системи належить ;

2) всяке кінцеве поддекартово твір -Систем належить .

Визначення 1.12. Формальне вираження , Де і - Слова сигнатури в рахунковому алфавіті , Називається тотожністю сигнатури . Скажімо, що в алгебрі виконано тотожність , Якщо після заміни букв будь-якими елементами алгебри та здійснення входять в слова і операцій ліворуч і праворуч виходить один і той же елемент алгебри , Тобто для будь-яких в алгебрі має місце рівність

Визначення 1.13. Клас алгебр сигнатури називається різноманіттям, якщо існує безліч тотожностей сигнатури таке, що алгебра сигнатури належить класу тоді і тільки тоді, коли в ній виконуються всі тотожності з безлічі . Різноманіття називається Мальцівське, якщо воно складається з алгебр, в яких всі конгруенції перестановки.

2. Властивості централізаторів конгруенції універсальних алгебр

Нагадаємо, що клас алгебр сигнатури називається різноманіттям, якщо існує безліч тотожностей сигнатури таке, що алгебра сигнатури належить класу тоді і тільки тоді, коли в ній виконуються всі тотожності з безлічі .

Різноманіття називається Мальцівське, якщо воно складається з алгебр, в яких всі конгруенції перестановки.

Всі алгебри вважаються приналежними деякому фіксованому мальцевcкому різноманіття. Використовуються стандартні позначення та визначення з [2].

У даній роботі конгруенції довільної алгебри будемо позначати грецькими буквами.

Якщо - Конгруенція на алгебрі , То

суміжний клас алгебри по конгруенції . або - Діагональ алгебри .

Для довільних конгруенції і на алгебрі будемо позначати множина всіх конгруенції на алгебрі таких, що

тоді і тільки тоді, коли

Так як , То безліч не порожньо.

Наступне визначення дається в роботі [2].

Визначення 2.1. Нехай і - Конгруенції на алгебрі . Тоді централізує (Записується: ), Якщо на існує така конгруенція , Що:

1) з

завжди слід

2) для будь-якого елементу

завжди виконується

3) якщо

то

Під терміном «алгебра» надалі будемо розуміти універсальну алгебру. Всі розглянуті алгебри передбачаються входять у фіксований Мальцівське різноманіття .

Наступні властивості централізуемих, отримані Смітом [3], сформулюємо у вигляді леми.

Лемма 2.1. Нехай . Тоді:

1) існує єдина конгруенція , Що задовольняє визначенню 2.1;

2) ;

3) якщо

то

З леми 2.1. і леми Цорна випливає, що для довільної конгруенції на алгебрі завжди існує найбільша конгруенція, централізуються . Вона називається централізаторів конгруенції в і позначається .

Зокрема, якщо , То централизатор в будемо позначати .

Лемма 2.2. Нехай , - Конгруенції на алгебрі , , , . Тоді справедливі наступні твердження:

1) ;

2) , Де ;

3) якщо виконується одна з наступних відносин:

4) з завжди слід

Доказ:

1) Очевидно, що - Конгруенція на , Що задовольняє визначенню 2.1. В силу пункту 1) леми 2.1. і .

2) - Конгруенція на , Що задовольняє визначенню 2.1. Значить

3) Нехай . Тоді

Застосуємо до останніх трьох співвідношенням Мальцевскій оператор такий, що

Тоді отримаємо

тобто

Аналогічним чином показуються інші випадки з пункту 3).

4) Нехай

Тоді справедливі наступні співвідношення:

Отже,

де - Мальцевскій оператор.

Тоді

тобто .

Так як

то .

Таким чином . Лемма доведена.

Наступний результат виявляється корисним при доказі наступних результатів.

Лемма. 2.3. Будь подалгебра алгебри , Що містить діагональ , Є конгруенції на алгебрі .

Доказ:

Нехай

Тоді з

випливає, що

Аналогічним чином з

отримуємо, що

Отже, симетрично і транзитивній. Лемма доведена.

Доказ наступного результату роботи [1] містить пробіл, тому доведемо його.

Лемма 2.4. Нехай . Тоді для будь конгруенції на алгебрі .

Доказ:

Позначимо і визначимо на алгебрі бінарне відношення наступним чином:

тоді і тільки тоді, коли

де

Використовуючи лему 2.3, неважко показати, що - Конгруенція на алгебрі , Причому

Нехай

тобто

Тоді

і, отже

Нехай, нарешті, має місце

Тоді справедливі наступні співвідношення:

застосовуючи мальцевчкій оператор до цих трьох співвідношенням, отримуємо

З леми 2.2 випливає, що

Так як

то

Значить,

Але , Отже, .

Отже,

і задовольняє визначенню 2.1. Лемма доведена.

Лемма 2.5. Нехай , - Конгруенції на алгебрі , і - Ізоморфізм, визначений на .

Тоді для будь-якого елементу відображення визначає ізоморфізм алгебри на алгебру , При якому .

Зокрема, .

Доказ.

Очевидно, що - Ізоморфізм алгебри на алгебру , При якому конгруенції , ізоморфні відповідно конгруенція і .

Так як

то визначена конгруенція

задовольняє визначенню 2.1.

Ізоморфізм алгебри на алгебру індукує в свою чергу ізоморфізм алгебри на алгебру такий, що

для будь-яких елементів і , Що належать . Але тоді легко перевірити, що - Конгруенція на алгебрі , Ізоморфна конгруенції .

Це й означає, що

Лемма доведена.

Визначення 2.2. Якщо і - Фактори на алгебрі такі, що

то конгруенцію позначимо через і назвемо централізаторів фактора в .

Нагадаємо, що фактори і назиавются перспективними, якщо або

або

Доведемо основні властивості централізаторів конгруенції.

Теорема 8 І , , , - Конгруенції на алгебрі . Тоді:

1) якщо , То

2) якщо , То

3) якщо , і фактори , перспективні, то

4) якщо - Конгруенції на і , То

де , .

Доказ.

1) Оскільки конгруенція централізує яку конгруенцію і , То

2) З першого пункту леми 2.2 випливає, що

а в силу леми 2.4 одержуємо, що

Нехай - Ізоморфізм . Позначимо

За лемі 2.5 , А за визначенням

Отже,

3) Очевидно, досить показати, що для будь-яких двох конгруенції і на алгебрі має місце рівність

Покажемо вналале, що

Позначимо . Тоді, відповідно до визначення 2.1. на алгебрі існує така конгруенція , Що виконуються такі властивості:

а) якщо , То

б) для будь-якого елементу ,

в) якщо

то

Побудуємо бінарне відношення на алгебрі наступним чином:

тоді і тільки тоді, коли

і

Покажемо, що - Конгруенція на . Нехай

для . Тоді

і

Так як - Конгруенція, то для будь -Арної операції маємо

Очевидно, що

і

Отже,

Очевидно, що для будь-якої пари

Значить,

Отже, по лемі 2.3, - Конгруенція на . Покажемо тепер, що задовольняє визначенню 2.1, тобто централізує . Нехай

4

Тоді

Так як , і , То . Отже, задовольняє визначенню 2.1.

Якщо , То

значить,

Нехай, нарешті, має місце (1) і

4

Тоді

Так як і , То , Отже, . З (2) випливає, що , А за умовою . Значить, і тому

Тим самим показано, що конгруенція задовольняє визначенню 2.1, тобто централізує .

Доведемо зворотне включення. Нехай

Тоді на алгебрі визначена конгруенція

задовольняє визначенню 2.1. Побудуємо бінарне відношення на алгебрі наступним чином:

4

тоді і тільки тоді, коли

4

і , .

Аналогічно, як і вище, неважко показати, що - Конгруенція на алгебрі . Зауважимо, що з доведеного включення в одну сторону випливає, що . Покажемо тому, що централізує .

Так як

то

тобто задовольняє умові 1) визначення 2.1.

Якщо , То

отже,

Нехай має місце (3) і .

Так як

то

З (4) випливає, що , Отже,

тобто

На підставі леми 2.2 укладаємо, що

Отже, .

А так як , То , Тобто

4) Позначимо . Нехай

і удовлоетворяет визначення 2.1.

Визначимо бінарне відношення на наступним чином

тоді і тільки тоді, коли

Аналогічно, як і вище, неважко показати, що - Конгруенція, що задовольняє визначенню 2.1.

Це й означає, що

Теорема доведена.

Як слідства, з доведеної теореми одержуємо аналогічні властивості централізаторів в групах та мультікольцах.

3. Формаційні властивості нільпотентні алгебр

Як вже зазначалося, всі алгебри вважаються приналежними деякому фіксованому Мальцівське різноманіттю і використовуються стандартні позначення та визначення з [1].

Нагадаємо, що для і - Конгруенції на алгебрі - Кажуть, що централізує (Записується: ), Якщо на існує така конгруенція , Що:

1) з завжди слід

2) для будь-якого елементу завжди виконується

3) якщо , То

Очевидно, що для будь конгруенції на алгебрі конгруенція централізує . У цьому випадку .

Зауважимо, що якщо і - Конгруенції на групі і , То для нормальних підгруп і групи і будь-яких елементів , мають місце наступні співвідношення:

Тоді

і в силу транзитивності з цих співвідношень випливає, що

За визначенням 2.1 отримуємо, що

Наступне визначення центральності належить Сміту.

Визначення 3.1. , Якщо існує така , Що для будь-якого ,

Доведемо, що визначення 2.1. еквівалентно визначенню 3.1. означає умова 1) з визначення 2.1. І навпаки, умова 1) означає, що .

Нехай і - Конгруенції, що задовольняють визначенню 2.1. З умови 2) випливає, що для будь-якого елементу ,

Доведемо зворотне включення.

Нехай . Так як , То з умови 2) випливає, що

У силу транзитивності маємо

і, значить, в силу умови 3) . Отже

Покажемо, що з визначення 3.1. слідують умови 2) і 3) визначення 2.1. Якщо , То

Це означає .

Для отримуємо, що

звідки .

Згідно з працею

Визначення 3.2. Алгебра називається нільпотентні, якщо існує такий ряд конгруенції

званий центральним, що

Лемма 3.1. Будь подалгебра нільпотентні алгебри нільпотентні.

Доказ:

Нехай - Подалгебра нільпотентні алгебри . Так як володіє центральним поруч

то для будь-якого на алгебрі існує конгруенція задовольняє визначенню 2.1. А саме, з

завжди слід

і

1) для будь-якого елементу

завжди виконується

2) якщо

і

то

Зауважимо, що в подальшому, для скорочення запису, будемо враховувати той факт, що

тоді і тільки тоді, коли

Побудуємо наступний ряд конгруенції на алгебрі :

де

Покажемо, що цей ряд є центральним. Для цього на алгебрі для будь-якого визначимо бінарне відношення наступним чином:

тоді і тільки тоді, коли

Покажемо, що - Конгруенція на алгебрі . Нехай

Тоді

і для будь- -Арної операції маємо

Отже,

Отже, - Подалгебра алгебри .

Очевидно, що для будь-якого елементу має місце

Таким чином, згідно лемі 2.3, - Конгруенція на алгебрі .

Нехай

Тоді і так як , То

Якщо , То і, значить,

тобто

Нехай, нарешті,

Тоді

і так як

Отже,

Отже, конгруенція задовольняє визначенню 2.1. для будь-якого . Лемма доведена.

Лемма 3.2. Нехай і - Конгруенції на алгебрі ,

і - Ізоморфізм, визначений на алгебрі .

Тоді для будь-якого елементу відображення

визначає ізоморфізм алгебри на алгебру , При якому

Доказ:

Очевидно, що - Ізоморфізм алгебри на алгебру , При якому конгруенції і ізоморфні відповідно конгруенція і .

Так як , То існує конгруенція на алгебрі , Що задовольняє визначенню 2.1. Ізоморфізм алебри на алгебру індукує в свою чергу ізоморфізм алгебри на алгебру такий, що

для будь-яких елементів , .

Але тоді легко перевірити, що - Конгруенція на алгебрі ізоморфна конгруенції . Це й означає, що

Лемма доведена.

Лемма 3.3. Фактор-алгебра нільпотентні алгебри нільпотентні.

Доказ:

Нехай

центральний ряд алгебри . Покажемо, що для будь конгруенції на алгебрі ряд

є центральним, тобто

для будь-якого . В силу відомих теорем про ізоморфізму для алгебр (див., наприклад, теореми II.3.7, II.3.11) і леми 3.2., Досить показати, що

Нехай - Конгруенція на алгебрі , Що задовольняє визначенню 2.1. Визначимо бінарне відношення на алгебрі наступним чином

тоді і тільки тоді, коли знайдуться такі елементи , Що

і

Безпосередньою перевіркою переконуємося, що - Конгруенція на алгебрі .

Таким чином залишилося показати, що задовольняє визначенню 2.1.

Нехай

тоді зі співвідношення

випливає, що

Так як

то . Отже,

Нехай . Тоді для деякого елемента , і .

Таким чином,

отже,

Так як , То це означає, що

Нехай

де

Покажемо, що . У силу визначення знайдуться , Що

і

При цьому мають місце наступні співвідношення:

Отже,

Але тоді за визначенням 3.2.

А так як , То

Тепер з того, що

випливає, що

Лемма доведена.

Доказ наступного результату здійснюється простою перевіркою.

Лемма 3.4. Нехай - Конгруенція на алгебрі , . Полога

тоді і тільки тоді, коли для будь-якого , Отримуємо конгруенцію на алгебрі .

Лемма 3.5. Пряме твір кінцевого числа нільпотентні алгебр нільпотентні.

Доказ:

Очевидно, досить показати, що якщо , і - Нільпотентні алгебри, то - Нільпотентні алгебра.

Нехай

центральні ряди алгебр і відповідно. Якщо , То, ущільнивши перший ряд повторюваними членами, одержимо центральний ряд алгебри довжини . Таким чином, можна вважати, що ці ряди мають однакову довжину, рівну .

Побудуємо тепер ряд конгруенції на алгебрі наступним чином:

де тоді і тільки тоді, коли , , .

Покажемо, що останній ряд є центральним, тобто для довільного . Так як

то на алгебрах і відповідно задані конгруенції і , Що задовольняють визначенню 2.1.

Визначимо бінарне відношення на алгебрі наступним чином:

і тільки тоді, коли

і

Легко безпосередній перевіркою переконатися, що - Конгруенція на алгебрі . Залишилось показати, що задовольняє визначенню 2.1.

Нехай має місце

Тоді згідно введеному визначенню

і

звідки випливає, що

тобто

Нехай

Це означає

Але тоді

і

Отже,

Нехай має місце

Це означає, що

і

Значить, і , Тобто . Лемма, доведена.

Як відомо, спадкової формацією називається клас алгебр, замкнутих щодо фактор-алгебр, подпрямих творів і щодо подалгебр.

Результати, отримані в лемах 3.1, 3.3, 3.5 можна сформулювати у вигляді наступної теореми.

Теорема 8 Клас всіх нільпотентні алгебр Мальцівське різноманіття є спадковою формацією.

Визначення 3.3. -Арная група називається нільпотентні, якщо вона володіє таким нормальним поруч

що

і

для будь-якого .

Так як конгруенції на -Арних групах попарно перестановки (дивись, наприклад,), то це дає можливість використовувати отримані результати в дослідженні таких груп.

Лемма 3.6. Нехай - -Арная група. і - Нормальні підгрупи групи і .

Тоді , Де і конгруенції, індуковані відповідно підгрупами і на групі .

Доказ:

Підгрупи і індукують на групі конгруенції і , Які визначаються наступним чином:

- -Арная операція.

Визначимо на бінарне відношення наступним чином:

тоді і тільки тоді, коли існують такі послідовності елементів і з і відповідно, що

Покажемо, що - Подалгебра алгебри . Для скорочення запису будемо надалі опускати -Арний оператор .

Нехай

Так як , То

Так як , То

Тому в силу того, що ,

Отже, - Подалгебра алгебри .

Нехай - Нейтральна послідовність групи , А, отже, і групи . Тоді з визначення бінарного відносини випливає, що

Тим самим довело, що - Конгруенція на .

Тo, що задовольняє визначенню 2.1, очевидно. Лемма доведена.

Лемма 3.7. Нехай - Нільпотентні -Арная група. Тоді задовольняє визначенню 2.1.

Доказ:

Так як для будь-якого , То індукує конгруенцію на . Таким чином має ряд конгруенції, який в силу леми 3.6 буде центральним. Лемма доведена.

Зокрема, для довільної бінарної групи звідси випливає, що нільпотентні тоді і тільки тоді, коли, задовольняє визначенню 3.2. У цьому випадку теорема 3.2 просто констатуємо той факт, що клас всіх нільпотентні груп утворить спадкову формацію.

4. Класи абелевих алгебр та їх властивості

Як вже було зазначено у параграфі 3, алгебра називається нільпотентні, якщо існує такий ряд конгруенції

званий центральним, що

для будь-якого .

Визначення 4.1. У випадку, якщо для нільпотентні алгебри в центральному ряді , Тобто якщо для неї , То алгебра називається, абелевих.

Лемма 4.1. Будь подалгебра абелевих алгебри абелева.

Доказ:

Нехай подалгебра абелевих алгебри .

Так як по визначенню , То на існує така конгруенція , Що:

1) з

завжди слід

2) для будь-якого елементу

завжди виконується

3) якщо

то

Розглянемо конгруенцію

Дійсно, якщо

для , То

і для будь- -Арної опеаціі маємо

Але оскільки подалгебра алгебри , Отримуємо

Значить, подалгебра алгебри .

Очевидно, що для будь-якого елементу має місце

Таким чином, конгруенція ня алгебрі .

Нехай

тоді

то Якщо , То

і, значить,

тобто

Нехай, нарешті,

Тоді

і значить .

Отже, конгруенція задовольняє визначенню 2.1. Лемма доведена.

Лемма 4.2. Фактор-алгебра абелевих алгебри абелева.

Доказ:

Нехай алгебра - Абелева, тобто . Покажемо, що для будь конгруенції на виконується

Нехай - Конгруенція на алгебрі , Що задовольняє визначенню 2.1.

Визначимо бінарне відношення на алгебрі наступним чином:

тоді і тільки тоді, коли знайдуться такі елементи , , , , Що

і

Безпосередньою перевіркою переконуємося, що - Конгруенція на алгебрі .

Таким чином залишилося показати, що задовольняє визначенню 2.1. Нехай

тоді

Нехай

Тоді , І за визначенням 2.1

При цьому і . Згідно з нашими позначенням отримуємо, що

Нехай

Тоді знайдуться , Що

і

При цьому

Отже,

Але тоді за визначенням 3.1. . А так як , То

Тепер з того, що

випливає, що

Лемма доведена.

Лемма 4.3. Пряме твір кінцевого числа абелевих алгебр абелева.

Доказ:

Очевидно, досить показати, що якщо , і - Абелеві алгебри, то - Абелева алгебра.

Нехай і . Це означає, що на алгебрах і задані cоответсвенно конгруенції і задовольняють визначенню 2.1.

Визначимо бінарне відношення на алгебрі наступним чином:

тоді і тільки тоді, коли

і

Безпосередньою перевіркою переконуємося, що - Конгруенція на алгебрі .

Таким чином залишилося показати, що задовольняє визначенню 2.1.

Нехай

тоді

Нехай . Це означає, що і . Але тоді

і

Отже,

Нехай

тоді

і

Це означає, що і . Таким чином

Лемма доведена.

Результати, отримані в лемах 4.1, 4.2, 4.3 можна тепер сформулювати у вигляді наступної теореми.

Теорема 8 Клас всіх абелевих алгебр Мальцівське різноманіття є спадковою формацією.

Нехай - Конгруенція на алгебрі . - Подалгебра алгебри , і . Тоді введемо нове позначення

Лемма 4.4. Нехай визначено безліч . Тоді - Конгруенція на ,

Доказ:

Так як , То для будь-якого елементу завжди знайдеться такий елемент , Що . Отже,

де .

Таким чином .

Нехай тепер , . Тоді

де . Отже, для будь- -Арної операції отримуємо

Тепер, оскільки , То по лемі 3.2 - Конгруенція на .

Нехай . Тоді, очевидно,

тобто . Так як

то

Покажемо тепер, що . Припустимо протилежне. Тоді знайдеться така пара , Що і . З визначення випливає, що існує така пара , Що

Так як

то застосовуючи Мальцевскій оператор отримуємо

З леми 2.2. тепер випливає, що .

Отже, . Лемма доведена.

Подалгебра алгебри називається нормальною в , Якщо є суміжним класом за деякою конгруенції алгебри .

Лемма 4.5. Будь подалгебра абелевих алгебри є нормальною.

Доказ:

Нехай - Подалгебра абелевих алгебри . Так як , То по лемі 4.4. на існує така конгруенція , Що

Лемма доведена.

Висновок

Таким чином, в даній роботі ми докладно з доказами на підставі результатів робіт [3] і [4] виклали теорію централізаторів конгруенції універсальних алгебр і рассматрелі формаційні властивості нільпотентні алгебр роботи [2], на підставі результатів 3 ввели поняття абелевих алгебри. Використовуючи методи дослідження роботи [1] довели наступний основний результат: клас всіх універсальних абелевих алгебр з Мальцівське різноманіття утворює спадкову формацію.

Список літератури

8 Скорняков, Л.А., Елементи загальної алгебри. - М.: Наука, 1983. - 272 с.

8 Шеметков Л.А., Скиба А.Н., Формації алгебраїчних систем. - М.: Наука, 1989. - 256 с.

8 Smith JD Mal'cev Varieties / / Lect. Notes Math. 1976. V.554.

8 Русаков С.А., Алгебраїчні -Арні системи. Мінськ, 1987. - 120 с.

8 Кон П., Універсальна алгебра. М.: Мир, 1968.-351 с.

8 Ходалевіч А.Д., Властивості централізаторів конгруенції універсальних алгебр / / Питання алгебри. - 1996.-Вип.10 с. 144-152

8 Ходалевіч А.Д. Формаційні властивості нільпотентні алгебр / / Питання алгебри. - 1992. - Вип.7.-с. 76-85

8 Ходалевіч А.Д. Прикладна алгебра / / Лекції з спецкурсу «Універсальні алгебри». Ч1.-Гомель. 2002. - С. 35.

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Курсова
401.4кб. | скачати


Схожі роботи:
Розвиток функціональної лінії в курсі алгебри 7-9 класів на прикладі підручників з алгебри під ред
Розвиток функціональної лінії в курсі алгебри 9 липня класів на прикладі підручників з алгебри під ред
Універсальні функції і планування маркетингу
Школа БІ Рамєєва універсальні ЕОМ
Універсальні технології запобігання та вирішення соціальних до
Універсальні технології запобігання та вирішення соціальних конфліктів
Текст астрологічного прогнозу універсальні та національно специф
Текст астрологічного прогнозу універсальні та національно-специфічні риси
Універсальні граматики нового часу Граматика Пор-Рояля
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru