додати матеріал


Історія геометрії 2

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Зміст
Введення.
1. Геометрія на Сході.
2. Грецька геометрія.
3. Геометрія нових віків.
4. Класична геометрія XIX століття.
5. Неевклідової геометрії.
6. Геометрія XX століття.
Висновок.
Література.

Введення

Геометрія виникла дуже давно, це одна з найстародавніших наук. Геометрія (грецьке, від ge - земля і metrein - вимірювати) - наука про простір, точніше - наука про форми, розміри і межі тих частин простору, які в ньому займають речові тіла. Таке класичне визначення геометрії, або, вірніше, таке дійсне значення класичної геометрії. Однак сучасна геометрія в багатьох своїх дисциплінах виходить далеко за межі цього визначення. Розвиток геометрії принесло з собою глибоко йде еволюцію поняття про простір. У тому значенні, в якому простір як математичний термін широко вживається сучасними геометрами, воно. вже не може служити первинним поняттям, на якому спочиває визначення геометрії, а, навпаки, сама знаходить собі визначення в ході розвитку геометричних ідей.
Важливу роль грали і естетичні потреби людей: бажання прикрасити своє житло і одяг, малювати картини навколишнього життя. Все це сприяло формуванню і накопиченню геометричних відомостей. За кілька століть до нашої ери у Вавилоні, Китаї, Єгипті та Греції вже існували початкові геометричні знання, які здобувалися в основному дослідним шляхом, але вони не були ще систематизовано і передавалися від покоління до покоління у вигляді правил і рецептів, наприклад, правил перебування площ фігур, об'ємів тіл, побудову прямих кутів і т.д. Не було ще доказів цих правил, і їх виклад не являло собою наукової теорії.
1. Геометрія на Сході
Батьківщиною геометрії вважають звичайно Вавилон і Єгипет. Грецькі письменники одностайно сходяться па тому, що геометрія виникла в Єгипті і звідти перенесена до Еллади.
Перші кроки культури всюди, де вона виникала, в Китаї, в Індії, в Ассирії, в Єгипті, були пов'язані з необхідністю вимірювати відстані і ділянки на землі, обсяги та ваги матеріалів, продуктів, товарів; перші значні споруди вимагали нівелювання, витриманою вертикалі, знайомства з планом і перспективою. Необхідність вимірювати проміжки часу вимагала систематичного спостереження над рухом світил, а отже, вимірювання кутів. Все це було нездійсненно без знайомства з елементами геометрії, і у всіх названих країнах основні геометричні уявлення виникали частиною незалежно один від одного, частково - у порядку спадкового передачі. Проте точних відомостей про знання єгиптян у галузі геометрії ми не маємо. Єдиним першоджерелом, що дійшли до нас, є папірус, написаний при фараоні Payee вченим писарем його Рінда (Ahmes) у період між 2000 і 1700 р. до нашої ери. Це - керівництво, що містить різного роду математичні задачі і їх рішення; значна більшість завдань відноситься до арифметики, менша частина - до геометрії. З останніх майже всі пов'язані з виміром площ прямолінійних фігур і кола, причому Рінда приймає площа рівнобедреного трикутника дорівнює добутку основи на половину бічної сторони, а площа кола - рівної площі квадрата, сторона якого менше діаметра на 1 / 3 його частина (це дає л = 3,160 ...); площа равнобочной трапеції він приймає дорівнює добутку півсуми паралельних сторін на бічну сторону. Як видно з кількох інших завдань Рінда, єгиптяни в цю пору знали, що кути прямокутного трикутника визначаються відношенням катетів. Як вони прийшли до всіх цих правил, чи знали найбільш освічені жерці - хранителі єгипетської науки, - що їхні дані є лише наближеними, про це ми не маємо жодних відомостей. Так само мало знаємо ми про те, що додало до цих пізнань єгиптян наступне тисячоліття; скільки-небудь значних успіхів вони у всякому разі не зробили. Важко сказати цілком точно, що з цих відомостей єгиптяни відкрили самі і що вони запозичили від вавілонян та індусів. Поза сумнівом лише те, що геометричні відомості вавілонян були настільки ж уривчасті і настільки ж жалюгідні. Їм належить розподіл кола на 360 о; вони мали відомості про паралельні лінії і точно відтворювали прямі кути; все це було їм необхідно при астрономічних спостереженнях, які, мабуть, головним чином і призвели до їх геометричним знань. Вавилоняни знали, що сторона правильного вписаного в коло шестикутника дорівнює радіусу. Характерним для цього першого, у відомому сенсі доісторичного, періоду геометрії є дві сторони справи: по-перше, встановлення найбільш елементарного геометричного матеріалу, прямо необхідного в практичній роботі, а по-друге, запозичення цього матеріалу з природи шляхом безпосереднього спостереження («чуттєвого сприйняття », за словами Евдема Родоського). Найбільш характерний вираз цього безпосереднього апелювання до інтуїції як єдиного посвідченню правильності висловленої істини ми знаходимо у індуського математика Ганеші.
2. Грецька геометрія
Грецькі автори відносять появу геометрії в Греції в кінці VII ст. до н. е.. і пов'язують його з іменем Фалеса Мілетського (639-548), вся наукова діяльність якого зображується греками в напівміфічному світлі, так що точно її відновити неможливо. Вірогідно, мабуть, те, що Фалес в молодості багато подорожував по Єгипту, мав спілкування з єгипетськими жерцями і в них навчився багато чому, в тому числі геометрії. Повернувшись на батьківщину, Фалес оселився в Мілеті, присвятивши себе заняттям наукою, і оточив себе учнями, що утворили так звану іонійської школи. Фалесу приписують відкриття низки основних геометричних теорем (наприклад, теорем про рівність кутів при основі рівнобедреного трикутника, рівність вертикальних кутів і т. п.). Важливіше, мабуть, інше. Важко допустити, щоб наука, "хоча б у зародковому своєму стані, була перенесена на треческую грунт одним чол Овеков. Важіо те, що в Елладі в інших умовах економічних відносин і соціального життя утворився клас, для того часу безсумнівно прогресивний, як усвоивший східну культуру, але й розвинув її до невпізнанною висоти, що створив, таким чином, вже свою високу еллінську культуру. В умовах швидко розвивалася архітектури, мореплавання, цивільної та військової техніки, в умовах розгортаються вже у зв'язку з цим досліджень в галузі астрономії, фізики, механіки , вимагали точних вимірювань, що не тільки дуже скоро виявилися протиріччя і неправильності єгипетської геометрії, а й у виправленому вигляді її убогий матеріал перестав задовольняти зростаючим потребам. Елементарні прийоми безпосереднього спостереження східній геометрії були безсилі перед новими завданнями. Щоб їх вирішити, було необхідно відірвати геометрію від безпосередніх завдань вимірювання полів і будівлі пірамід, - завдань, вузьких при всій їх важливості, - і поставити їй незмірно більш широкі завдання. Цій тенденції і належало початок Фалесом. Іонійська школа перенесла геометрію в область набагато більш широких уявлень і завдань, надала їй теоретичний характер і зробила її предметом тонкого дослідження, в якому разом з інтуїцією починає грати видну роль і абстрактна логіка. Абстрактно-логічний характер геометрії, який у іонійської школи лише намічався, затягнувся, правда, дещо містичним флером у піфагорійців, прийняв у Платона і Аристотеля більше здорові форми і в Олександрійській школі знайшов своє завершення. Була створена наука, широка за задумом, багата фактичним матеріалом і, незважаючи на свій абстрактний характер, що дає ряд надзвичайно важливих практичних застосувань. Більше того, можна сказати, що саме в абстрактній структурі, яку отримала геометрія в працях грецьких учених з VI по III ст. до н. е.., і корениться можливість її різноманітного конкретного використання.
Саме слово «геометрія» недовго зберігає своє первісне значення - вимірювання землі. Вже Аристотель ввів для такого виміру новий термін - геодезія. Однак і зміст цієї нової дисципліни скоро теж стали розуміти в більш широкому сенсі, який може бути найкраще передається сучасним терміном «метрична геометрія». У працях Фалеса, Піфагора, Платона, Демокріта, Гіпократа, Дінострата, Никомеда, Аристотеля, якщо назвати лише найважливіших, з надзвичайною швидкістю виробляються встановлення і систематизація фактичного матеріалу класичної геометрії. Потрібно відзначити, що нам відомі лише розрізнені ланки в цілісній ланцюгу розвитку геометрії; багато ланок і імена зовсім втрачені. Близько IV ст. до н. е.. вже стали з'являтися зведені твору під назвою «Почав геометрії», що мали завданням систематизувати видобутий геометричний матеріал. Такі «Начала» за свідченням Прокла, склали Гіппократ Хіоський, Феодосії з Магнезії, Гієронім Колофонскій та ін Жодне з цих творів до нас не дійшло: всі вони втратили своє значення і були забуті, коли з'явилося чудове керівництво по геометрії - «Начала» Евкліда, що жив наприкінці IV - початку III ст. до н. е..
Евклід жив в Олександрії в епоху, коли там утворився найбільш великий центр грецької наукової думки. Спираючись на праці своїх попередників, Евклід створив глибоко продуману систему, сохранявшую керівну роль протягом понад двох тисяч років. «Укладач Почав» - це прізвисько зробилося як би власним ім'ям, під яким всі пізніші грецькі математики зрозуміли Евкліда, а його «Начала» стали підручником, за яким протягом двох тисячоліть навчалися геометрії юнаки та дорослі. Навіть ті підручники, за якими ведеться початкове навчання геометрії в наш час, по суті представляють собою переробку «Начал» Евкліда.
Матеріал, що міститься в «Початки», по суті охоплює елементарну геометрію, як ми її розуміємо в даний час. Метод побудови геометрії у Евкліда пізніше характеризували словами - будувати геометрію виключно геометричними засобами, не вносячи в неї чужих їй елементів. Це означає перш за все, що Евклід не вдається до арифметичним засобів, тобто до чисельних співвідношенням. Рівність фігур у Евкліда означає, що вони можуть бути суміщені рухом, нерівність - що одна фігура може бути цілком або частинами вміщено в іншу. Равновеликости фігур означає, що вони можуть бути складені з частин. Саме цими засобами, не вдаючись навіть до пропорцій, Евклід доводить, що кожен багатокутник може бути перетворений в рівновеликий трикутник, а трикутник - в квадрат.
Теорема Піфагора у Евкліда має тільки той зміст, який встановлюється його доказом: квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника, може бути розкладений на частини, рівновеликі квадратах, побудованим на його катетах; пов'язане з цим алгебраїчне співвідношення чисельних значень гіпотенузи і катетів йому зовсім чуже. Але мало того, що Евклід не користується числовими співвідношеннями, - він встановлює геометричні співвідношення, еквівалентні основним алгебраїчним тотожностям, встановленим набагато пізніше; цьому присвячена майже половина другої книги «Начал».
Епоха великих геометрів (другий Олександрійський період). Найбільш характерною рисою другого Олександрійської епохи є те, що вона принесла з собою метрику, якої геометрії Евкліда не діставало. Те завдання, яке Евклід, може бути, свідомо оминав, - вимір, - Архімед поставив на перше місце. Це не випадково, а пов'язано з тим прикладним напрямком, яким пройняте все творчість Архімеда, який жив в епоху (III ст. До н. Е..), Коли боротьба між окремими грецькими державами за незалежність і за гегемонію досягла найбільшого напруження; старість ж його протекла в роки, коли почалася рішуча боротьба Еллади за саме її існування. Легенди пов'язують весь захист Сіракуз з ім'ям Архімеда, який винаходив все нові і нові метальні знаряддя, що відображали суду тримали облогу. Скільки в цьому правди, судити важко. Але Плутарх свідчить, що діяльність інженера-практика Архімеда ніколи не приваблювала, він і не написав з цього предмету жодного твору. У III в. до н. е.. прикладні завдання стояли вже перед еллінськими вченими на весь зріст. Заслуга Архімеда полягала не в тому, що він побудував значне число катапульт, а в тому, що він встановив теоретичні основи, на яких, зрештою, і донині покоїться машинобудування, - він фактично створив основи механіки. Механіка вимагала обчислення мас, а отже, площ і обсягів, а також Центрів тяжкості; механіка настійно вимагала метричної геометрії; на цьому й зосереджено увагу Архімеда в геометрії. Труднощі несумірних відносин він долає в тому порядку, який по теперішній час залишається по суті єдиним засобом не тільки практичного обчислення, а й теоретичного побудови вчення про ірраціональні величинах, - шляхом складання послідовних наближень. Але на цьому-то шляхи і було необхідно виняткове мистецтво, бо великовагова система числення представляла найслабше місце грецької математики. Архімед намагався знайти радикальні засоби для подолання труднощів числення - цьому присвячена його книжка «Літочислення піску». До мети це не крівело. Цей твір представляє собою зайве свідчення виключного дотепності Архімеда, але не дає хороших коштів для практичного рахунку. Найбільш важливим було наближене обчислення квадратних коренів, необхідне для наближеного ж обчислення довжини кола; цьому присвячено особливе, невеликий твір, по суті укладає наближене обчислення периметрів правильних 96-кутників, вписаного в коло і описаного біля неї.
Таким чином, твори Архімеда істотно відрізняються від геометрії Евкліда і за матеріалом та за методом; це - величезний крок вперед, це - нова епоха. У викладі цих досягнень, проте, витримана система Евкліда: аксіоми і постулати на початку кожного твору, тонко продумана ланцюг умовиводів, що претендує на досконалість мережі силогізмів. Але, як і система Евкліда, геометрія Архімеда постійно віддає щедру данину інтуїції, причому тільки поруч з геометричною інтуїцією тут з'являється інтуїція механічна.
Твори, присвячені тлумачення «Почав» з'явилися рано. Першим коментатором Евкліда був, мабуть, ще Гемін Родоський, який жив у II ст. до н. е.. займалися цим пізніше Герої та Папп, а також Теона і інші, але їхні коментарі до нас або зовсім не дійшли, або збереглися тільки в уривках у передачі Прокла, який писав уже в V ст. н. е.. Коментарі Прокла стали незабаром класичним твором, з яким довго ніхто не конкурував у справі тлумачення «Початки». До того ж Прокл жив уже в епоху повного занепаду грецької науки, і на його долю випало лише підвести загальний підсумок діяльності його великих попередників. Значення коментаторів Евкліда полягає головним чином, в тому, що вони з'ясували слабкі місця його логічної схеми. Не зробивши ще нічого для суттєвого поліпшення цієї схеми, вони вказали ті шляхи, по яких проникають в систему Евкліда міркування, що порушують витриману нитка логічних висновків. Чимало було висловлено глузливих зауважень з приводу коментаторів Евкліда: говорили, що вони переливали з пустого в порожнє, робили ясне неясним. У цих закидах, звичайно, багато правди. Коментування елементарного твори не вимагає великих знань, і тому було написано багато легковажних і беззмістовних творів з приводу «Начал» Евкліда і з питання про підстави геометрії взагалі. Але ніяк не можна заперечувати того, що коментатори Евкліда, ретельно вивчали «Начала» і глибоко їх продумайте, вказали безліч темних пунктів цього твору і відзначили цілий ряд властивостей просторових образів, які повинні лягти в основу логічної системи геометрії.
3. Геометрія нових століть
. Прокл був вже, мабуть, останнім представником грецької геометрії. Римляни не внесли в геометрію нічого істотного. Загибель античної культури, як відомо, призвела до глибокого занепаду наукової думки, що тривала близько 1000 років, до епохи Відродження. Це не означає, однак, що математика в цей період абсолютно заглухла. Посередниками між еллінської і новій європейській наукою з'явилися араби. Коли кілька ліг затятий релігійний фанатизм, який панував в епоху арабських завоювань, в умовах швидко розвивалася торгівлі, мореплавання і міського будівництва стала розгортатися і арабська наука, в якій математика грала дуже важливу роль. Евклід був вперше перекладений на арабську мову, мабуть, в IX ст. За цим послідував переклад творів інших грецьких геометрів, багато з яких тільки з цих перекладах до нас і дійшли. Проте математичні інтереси арабів були зосереджені не стільки на геометрії, скільки на арифметиці й алгебрі, на мистецтві рахунки в широкому сенсі цього слова. Араби удосконалили систему числення і основи алгебри, запозичені від індусів, але в галузі геометрії вони не мали значних досягнень.
Інтерес до рахунку перейшов і до європейських математикам раннього Відродження. Повільно - з початку XIII ст. (Леонард Пізанський) і до кінця XV ст. (Лука Пачолі) - в боротьбі абацістов з алгоріфмікамі встановлюється сучасна система числення, а в наступному, XVI ст. починає викристалізовуватися і сучасна алгебра. Система символічних позначень сучасної алгебри веде свій початок від Вієт, якого належать і перші програми алгебри до геометрії. Записавши квадратні рівняння в загальній формі і розглядаючи невідому як відрізок, а коефіцієнти рівняння як ці відрізки або відносини даних відрізків, Вієта дає загальні методи побудови невідомого відрізка за допомогою циркуля і лінійки. Він показує далі, що вирішення таких же завдань 3-й і 4-го ступеня завжди може бути приведене до побудови двох середніх пропорційних. У всьому цьому начебто немає нічого нового, по суті все це було відомо Евкліда, Герону, Проклу. Але нова, більш загальна схема дає можливість об'єднати цикл розрізнених завдань, які цікавили грецьких геометрів, встановити загальну їхню характеристику, раціонально класифікувати їх за характером рівняння, до якого приводить алгебраїчний метод розв'язання задачі. Всі ці прийоми в подальшому своєму розвитку склали невелику дисципліну, відому в даний час під назвою «Додатки алгебри до геометрії». Характерним для неї є зведення рішення геометричній завдання до певного алгебраическому рівнянню або до певної системи алгебраїчних рівнянь. У цих цілях немає якого-небудь спеціального, для геометрії придуманого задуму. Це - прийом, що проходить через програми алгебри у всіх дисциплінах, де вона застосовується для розвідки невідомих величин: завдання виражаються певною системою рівнянь, рішення яких дає значення невідомих. Це об'єднання алгебри з геометрією незабаром привело до набагато більш поглибленого і своєрідному застосування алгебраїчного методу в геометричному дослідженні. Проміжне значення (у всякому разі хронологічно) мають ідеї Орезма (точніше, Орема), пов'язані з XIV ст. Схоластики були дуже схильні до встановлення співвідношень між різними величинами, співвідношень іноді дійсно існуючих, але частіше ілюзорних. У цьому полягала, звичайно, ідея функціональної залежності, якої Орезм перший намагався дати графічне вираження - у вигляді того, що ми нині називаємо діаграмою. Ймовірно, туманні міркування, з якими цей метод, настільки простий але суті, був пов'язаний у схоластиків, повели до того, що метод Орезма в ту пору значного поширення не отримав і прямого впливу на подальшу еволюцію геометрії не надав. В епоху Відродження зародилася і так звана образотворча геометрія.
Основною перешкодою для подальшого розвитку геометрії була відсутність загальних методів геометричного дослідження, які містили б вказівки, як підійти до кожної приватної геометричній задачі. Потреба в такому загальному методі надзвичайно назріла. З розвитком алгебри, що принесла з собою засоби математичного дослідження дуже широкої спільності, було природно в них шукати і шляхів до геометричного дослідженню. Дійсно, в XVII ст. два геніальних французьких математика, Ферма і Декарт, майже одночасно висувають ідеї, що призвели до нового і дуже широкого розквіту геометричній думки. Ці ідеї були викладені Ферма в творі «Вступ до вчення про геометричні місцях на площині і в просторі», яке було відоме в колі паризьких математиків ще у 1637 р., але опубліковано було тільки після смерті автора (1679 р.). У листі до Роберваль Ферма виклав суть своїх ідей ще майже на 10 років раніше. Погляди Декарта викладені в невеликому його творі «Геометрія», який з'явився в 1637 р. як додаток до твору «Міркування про метод». Обидва геометра явно перебували під великим впливом Аполлонія; але встановлений ними метод, нині широко відомий під назвою аналітичної геометрії, все-таки залишається цілком своєрідним. Від прийомів Аполлонія він відрізняється тим, що співвідношення, що визначають геометричне місце, виражені у формі рівнянь символічної алгебри; від методів застосування алгебри до геометрії, запропонованих Вієта, він відрізняється тим, що тут переважна значення набувають невизначений рівняння і невизначена система рівнянь; корінний його особливістю є метод координат, в застосуванні якого полягає найбільша його сила. Координатами по суті користувався і Аполлоній. Але у нього ордината точки параболи є її відстань від осі цієї параболи; координація завжди нерозривно пов'язана з самою кривою. Декарту (більш ніж Ферма) належить ясно виражений задум координації точок площині щодо довільно вибраних осей, а це і є сама істотна сторона справи. У сукупності вийшов метод, який дає можливість висловити ті співвідношення, якими визначається геометричне місце, за допомогою рівнянь, що зв'язують координати його точок. Геометричні співвідношення були покладені в загальні схеми аналітичної функціональної залежності, і були дані загальні методи вивчення цієї залежності засобами алгебри та аналізу. Був знайдений ключ до широкої новій постановці геометричного дослідження. Ферма дав систематичну зведення рівнянь найважливіших кривих. У Декарта цього немає, але зате у нього ширше і глибше окреслено загальні ідеї методу: саме твір мало служити прикладом того, яке значення має метод. Звичайно, на те, щоб провести цей метод систематично, знадобилося чимало часу. У Декарта мова йде тільки про координацію точок на площині; природне узагальнення - визначення точки в просторі трьома координатами-було зроблено Ла-Гіром, багато сприяв розвитку методу Декарта. Перше ж систематичний виклад аналітичної геометрії як цілого дав Ейлер у другому томі свого «Введення в аналіз нескінченних».
З ім'ям Монжа пов'язана така ж завершення іншої геометричної дисципліни - нарисної геометрії, або, як її правильніше називають німці, образотворчої геометрії («Darstellende Geometric»). Завдання образотворчої геометрії полягає в такому графічному відтворенні образу заданого об'єкта, за яким можна було б з точністю відтворити геометричні форми цього об'єкта. Такі зображення майже завжди доводиться відтворювати на площині (на аркуші паперу, полотні, камені, стіни); згідно цьому і образотворчий геометрія є майже виключно теорію зображення предметів на площині; в цьому зображенні просторових образів на площині і полягає труднощі завдання. Жодна галузь геометрії не виникла так безпосередньо з практичних завдань, як образотворчий геометрія. Перші спроби відтворення (малювання) природних об'єктів відносяться до часів доісторичної давнини в античному світі це мистецтво вже сягнуло високого рівня досконалості, але залишалося тільки мистецтвом, і лише з того моменту, як умови життя пред'явили до цього зображення вимоги точності, виникає спеціальна наука - теорія графічного зображення. Основ для цієї теорії природно було шукати в способах сприйняття зорових відчуттів - в оптиці, точніше - в геометричній оптиці. Прямолінійність світлового променя має тут вирішальне значення. Якщо об'єкт знаходиться між оком і деякою площиною, наприклад стіною, то око є центром, з якого предмет проектується пучком променів на площину. Це обставина, на яку вказував вже Евклід у своїй «Оптиці», зробило центральну проекцію основою всієї образотворчої геометрії. Перші систематичні кроки в цьому напрямі належать римському зодчому і інженеру Вітрувію, який написав незадовго до християнської ери трактат про архітектуру в десяти книгах.
Однак ідеї Вітрувія не надали великого впливу на розвиток образотворчої геометрії, і вона заново почала будуватися в епоху Відродження. Три імені відіграють тут вирішальну роль: найбільший представник італійського Ренесансу Леонардо да Вінчі (1452-1519), німецький художник Дюрер (1471 -1528) і французький архітектор, інженер і математик Дезарг (1593-1662). У своєму трактаті з живопису («Trattato della pittura»), який у пресі з'явився тільки в 1701 р.,
Заслуга Монжа трояка. По-перше, він вирішив питання про побудову зображення на одній площині, перенісши другу (вертикальну) проекцію також у першу горизонтальну площину; при цьому друга площину з нанесеною на ній проекцією повертається на 90 ° навколо лінії перетину обох площин (лінії землі); одержувані таким чином в горизонтальній площині дві проекції утворюють так званий «епюр», за яким вже можна з точністю відтворити зображуваний об'єкт; вчення про побудову і «читанні» епюра і становить зміст нарисної геометрії Монжа. По-друге, Монж звів весь матеріал, зібраний у застосуванні до різноманітних окремих об'єктах, в струнку систему. По-третє, він спробував використовувати ці графічні методи для цілей общегеометріческого дослідження: так як зображуваний об'єкт цілком визначається епюри, то геометричне дослідження цього об'єкта може бути зведене до вивчення епюра. Ця остання ідея, проте, істотних результатів не дала.
Книга Мопжа представляла собою підручник нарисної геометрії для паризької Політехнічної школи; друк цього твору і донині лежить на всіх довідниках з нарисної геометрії.
Таким чином, до кінця XVIII ст. оформилися і отримали завершене вираження ті течії геометричній думки, які виникли в епоху Відродження і поступово розвивалися протягом шести століть. Істотні риси нової геометрії цієї другої (після еллінської) епохи розквіту полягали в дослідженні тих самих питань, які займали грецьких геометрів, але за допомогою зовсім нових методів. Принцип «geometria geometrice» відпадає, навпаки, в геометрії знаходять широке застосування дві нові математичні науки - алгебра та обчислення нескінченно малих. Нові методи геометричного дослідження носять набагато більш абстрактний характер, вони далі від безпосередньої інтуїції. Разом з тим, вони дають більш загальні кошти для вирішення конкретних завдань; часто питання дозволяється механічно, якщо він належним чином поставлено. Від геометризації алгебри робиться перехід до алгебраизации геометрії, і тільки образотворча геометрія будується старими, чисто геометричними методами. Чим ширше розвиваються ці методи, тим глибше стають їх практичні застосування. Не випадково, що саме у Франції основні геометричні дисципліни отримують в цю пору своє завершення, що в особі Монжа вони мають найбільш яскравого свого виразника. То був час розпалу Французької революції і боротьби за її гасла, Монж належав до числа вождів революції.
4. Класична геометрія XIX століття
. Могло здаватися, що розвиток, який нова геометрія отримала в працях французьких геометрів кінця XVIII ст., Призвело до деякого завершення її, і що для нового поштовху залишається чекати епохи нового Відродження. Цього, однак, не сталося: XIX століття принесло із собою новий глибокий переворот і в змісті геометрії, і в її методи, і в самих поглядах на її сутність. Найбільш характерною рисою нової геометрії була її алгебраізація. Але з самого коріння алгебраїчного методу росли протиріччя, що мали двоякий джерело.
По-перше, сама алгебра не так вже сильна. Межі класичної геометрії визначалися тими питаннями, які алгебраїчно зводяться до рівнянь 1-й і 2-го ступеня. Ці рівняння в надзвичайно простій формі вирішуються в радикалах. У цьому міститься ключ до дослідження кривих ліній і поверхонь 2-го порядку, джерело простоти і витонченості, з якими геометрія древніх перекладається на алгебраїчний мову. Але при вивченні більш складних кривих, хоча б навіть алгебраїчних, засоби алгебри у загальному дослідженні втрачають свою простоту. Формули Кардано і Феррарі, службовці для вираження коренів рівнянь 3-й і 4-го ступеня, з їх уявними радикалами, від яких не можна позбутися, майже не знаходять собі застосування. За межами 4-го ступеня таких формул для спільного вирішення рівнянь не існує. Доводиться оперувати такими властивостями алгебраїчних рівнянь, широкої спільності яких розпливаються окремі приватні завдання. Саме ці спільні питання алгебраїчної геометрії все ж отримали дозвіл, а для вирішення багатьох окремих завдань методи Декарта дали менше, ніж від них можна було очікувати.
Друга сторона справи полягає в тому, що в ланцюзі рівнянь та алгебраїчних викладок губляться наочність і просторова інтуїція; цей потужний важіль синтетичної геометрії тут зовсім відмовляється служити. До цього приєднувалося обставина, що деякі частини алгебри і аналізу не були ще достатньо обгрунтовані і містили протиріччя в самих собі. Ці протиріччя викликали не тільки сумніви, а й пряме роздратування у тих, кому невиразність думки нестерпна, а математику, звиклому до строгості логічної думки, таке умонастрій було особливо обтяжливо. Видатний учень Монжа Карно вважав, що навіть навчання про негативні числах, що грає в методі координат таку важливу роль, повно протиріч; він вимагав звільнення геометрії від «ієрогліфів аналізу». Прагнення до подолання що виникли таким чином протиріч призвело і до відродження чисто геометричних методів.
Цей процес розгортався в різних напрямках; найбільш плідний шлях був пов'язаний з методами образотворчої геометрії. Його вихідні пункти кореняться ще в дослідженнях Менелая.
При всьому тому значенні, яке синтетичні методи геометрії отримали в XIX ст., Не слід думати, що вони витіснили аналітичні прийоми. Навпаки, аналітична геометрія продовжувала широко розвиватися в найрізноманітніших напрямках. Перш за все відгалужується алгебраїчна геометрія, тобто вчення про алгебраїчні криві, алгебраїчних поверхнях і їх перетинах. Надзвичайно поглиблені дослідження в цьому напрямку розгортаються за трьома шляхами.
Перший шлях через розвиток методів аналітичної геометрії, що застосовувалися до дослідження кривих 2-го порядку, веде до кривих 3, 4, 5, 6-го порядку як плоским, так і просторовим. За різними підставами встановлюється їх класифікація, будуються їх епюри (у разі просторових кривих), досліджується їхня форма. Пов'язані сюди результати надзвичайно різноманітні і диференційовані.
Другий шлях веде свій початок головним чином від Плюкера і характеризується тим, що в ньому ставиться завдання не досліджувати окремі алгебраїчні криві і поверхні, а розшукати спільні кошти для геометричної інтерпретації алгебраїчних рівнянь.
Третій шлях є найбільш тісне об'єднання геометрії з алгеброю і теорією функцій. Якщо алгебраїчна крива виражається рівнянням f (x, у) = 0 в раціональному вигляді, то у представляє собою те, що ми називаємо алгебраїчної функцією від х. Звідси ясно, що загальна теорія алгебраїчних кривих і теорія алгебраїчних, функцій є одне ціле: перша являє собою інтерпретацію другий з точки зору Плюкера, друга являє собою вираження алгебри першою з точки зору Штейнера. Надалі цей плідний шлях веде від Якобі, через Рімапа і Гессе до сучасної теорії функцій комплексного змінного, він дав ті застосування геометрії до теорії функцій, які Курант об'єднав під загальною назвою геометричній теорії функцій.
У всіх областях математики вплив геометрії XIX ст. дуже сильно. У роботах Мінковського воно проникло навіть у таку галузь, як теорія чисел, що була цитаделлю арифметичних та алгебраїчних методів. Деякі математики, особливо Шаль, стверджували, що алге-зація геометрії XVIII ст. змінилася в XIX ст. геометризацією алгебри, але геометризацією незрівнянно більш досконалою, ніж це мало місце в еллінську епоху. Навряд чи, проте, це так. Справедливіше сказати, що домінуюча роль, яку аналітична геометрія грала в період від Декарта до Монжа, поступилася місцем тісній та глибокому об'єднанню аналітичних та геометричних методів.
5. Неевклидова геометрія
Але багатовікові спроби докази п'ятого постулату Евкліда призвели врешті-решт до появи нової геометрії, що відрізняється від евклідової тим, що в ній V постулат не виконується. Ця геометрія тепер називається неевклідової, а в Росії носить ім'я Лобачевського, який вперше опублікував роботу з її викладом.
І однією з передумов геометричних відкриттів Н. І. Лобачевського (1792-1856) був якраз його матеріалістичний підхід до проблем пізнання. Лобачевський Він був твердо впевнений в об'єктивному і не залежить від людської свідомості існування матеріального світу і в можливості його пізнання. У промові «Про найважливіших предметах виховання» (Казань, 1828) Лобачевський співчутливо наводить слова Ф. Бекона: «залиште працювати надармо, намагаючись витягти з одного розуму всю мудрість; питайте природу, вона зберігає всі істини і на всі питання ваші буде відповідати вам неодмінно і задовільно ». У своєму творі "Про початки геометрії», який є першою публікацією відкритої ним геометрії, Лобачевський писав: «перші поняття, з яких починається будь-яка наука, повинні бути зрозумілі і приведені до самого меншого числа. Тоді тільки вони можуть служити міцним і достатньою підставою вчення. Такі поняття купуються почуттями; вродженим - не повинно вірити ». Тим самим Лобачевський відкидав ідею про апріорному характері геометричних понять, підтримують І. Кантом.
Перші спроби Лобачевського довести п'ятий постулат відносяться до 1823 році. До 1826 року він прийшов до переконання в тому, що V постулат не залежить від інших аксіом геометрії Евкліда і 11 (23) лютого 1826 року зробив на засіданні факультету казанського університету доповідь «Стислий виклад початків геометрії зі строгим доведенням теореми про паралельні», в якому були викладені початку відкритої їм «уявної геометрії», як він називав систему, пізніше отримала назву неевклідової геометрії. Доповідь 1826р. увійшов до складу першої публікації Лобачевського з неевклідової геометрії - статті «Про початки геометрії», надрукованій у журналі Казанського університету «Казанський вісник» у 1829-1820гг. подальшого розвитку і додатків відкритої ним геометрії були присвячені мемуари «Уявна геометрія», «Застосування уявної геометрії до деяких інтегралів» і «Нові початки геометрії з повною теорією паралельних», опубліковані у «Вчених записках» відповідно в 1835, 1836 і 1835-1838 рр. . Перероблений текст «Уявлюваного геометрії» з'явився у французькому перекладі в Берліні, там же в 1840р. вийшли окремою книгою на німецькій мові «Геометричні дослідження з теорії паралельних ліній» Лобачевського. Нарешті, в 1855 і 1856 рр.. він видав у Казані російською та французькою мовами «Пангеометрія».
Високо оцінив «Геометричні дослідження» Гаусс, який провів Лобачевського (1842) в члени-кореспонденти Геттінгенського вченого товариства, колишнього по суті Академією наук ганноверського королівства. Однак у пресі в оцінкою нової геометричної системи Гаусс не виступив.

Дослідження Гауса з неевклідової геометрії

Висока оцінка Гауссом відкриття Лобачевського була пов'язана з тим, що Гаусс, ще з 90-х років XVIII ст. займався теорією паралельності ліній, прийшов до тих самих висновків, що і Лобачевський. Свої погляди з цього питання Гаусс не публікував, вони збереглися тільки в його чорнових записках і в небагатьох листів до друзів. У 1818 р. в листі до австрійського астроному Герлінг (1788-1864) він писав: «Я радію, що ви маєте мужність висловитися так, як якщо б Ви визнавали помилковість нашої теорії паралельних, а разом з тим і всій нашій геометрії. Але оси, гніздо яких Ви потривожите, полетять Вам на голову »; мабуть, під« потривоженим осами »Гаус мав на увазі прихильників традиційних поглядів на геометрію, а також апріорізму математичних понять.

Янош Бояі.

Незалежно від Лобачевського і гауса до відкриття неевклідової геометрії прийшов угорський математик Янош Бояі (1802-1860), син Ф. Бояі.
Коли Я. Бояі прийшов до тих же ідей, що Лобачевський і гаус, батько не зрозумів його, проте запропонував надрукувати короткий виклад його відкриття у вигляді додатку до свого керівництва з математики, що вийшов в 1832г. Повна назва праці Я. Бояі - «Додаток, що містить науку про простір, абсолютно справжню, не залежну від істинності чи хибності XI аксіоми Евкліда (що a priori ніколи вирішено бути не може)» і його зазвичай коротко називають просто «Апендикс». Відкриття Я. Бояі не було визнано за його життя; Гаусс, якому Ф. Бояі послав "Апендикс", зрозумів його, але ніяк не сприяв визнанню відкриття Я. Бояі.

Геометрія Лобачевського

Лобачевський відразу ж поставив питання про експериментальну перевірку того, яка геометрія має місце в реальному світі - «вживана» або «уявна», для чого він вирішив виміряти суму кутів трикутника, утвореного двома діаметрально протилежними положеннями Землі на її орбіті і Сіріусом і вважаючи один з кутів цього трикутника прямим, а інший - рівним куту паралельності, Лобачевський знайшов, що ця сума відрізняється від на різницю, меншу помилки кутомірних інструментів у його час. «Після того, - пише Лобачевський, - можна уявити, скільки ця різниця, на якій заснована наша теорія паралельних, виправдовує точність всіх обчислень звичайної геометрії і дозволяє прийняті почала розглядати як би суворо доведеними».
Це пояснює, що під «строгим доведенням теореми про паралельні» в доповіді 1826 Лобачевський розумів неможливість встановити експериментальним шляхом, яка з двох геометрій має місце в реальному світі, звідки випливає, що на практиці можна користуватися «вживаною геометрією», не ризикуючи впасти в помилку.
Найбільш повно викладено систему Лобачевського в його «Нових засадах з повною теорією паралельних» (1835-1838). Виклад геометрії у Лобачевського грунтується на чисто топологічних властивості дотику і перетину, конгруентність тіл і рівність відрізків визначаються по суті за допомогою руху.
У пізніших роботах Лобачевський ввів координати і обчислив з геометричних міркувань цілий ряд нових певних інтегралів, яким він спеціально присвятив роботу «Застосування уявної геометрії до деяких інтегралів» (Учен. зап. Казан. Ун-ту, 1836), багато з яких були включені в подальші довідники.
6. Геометрія XX століття
Минулі роки першої чверті XX ст. не тільки підбивали підсумки всього цього обширного циклу ідей, але дали нове їх розвиток, нові застосування, які довели їх до розквіту. Перш за все XX століття принесло нову гілку геометрії. Не можна сказати, щоб вона в цьому столітті виникла. Але подібно до того, як проективна геометрія створилася з розрізнених матеріалів, нагромаджується з Дезарга протягом двох століть, так з різноманітних уривчастих ідей, розсіяних по всій історії геометрії, у XX ст. складається особлива дисципліна - топологія
До початку XX століття відноситься зародження векторно-моторного методу в нарисної геометрії, що застосовується в будівельній механіці, машинобудуванні. Цей метод розроблений Б. Майором і Р. Мізеса, Б.М. Горбуновим.
Геометрія Ейнштейна - Маньківського
Геометрична сторона побудованої Ейнштейном теорії відносності, особливо відтінений Мінковським, полягає в тому, що світобудова, не в його статичному стані в певний момент, а у всій його споконвічній динаміці, Ейнштейн і Мінковський розглядають як різноманіття, елемент якого визначається чотирма координатами.
Керуючись тим, що гравітаційні сили у світі діють завжди, тоді як інші сили (електричні, магнітні) в кожному місці то з'являються, то зникають, Ейнштейн поставив собі за мету побудувати риманова геометрію цього чотиривимірного різноманіття так, щоб охопити однією загальною схемою як просторові, так і гравітаційні співвідношення, що панують у всесвіті. Завдання полягало, отже, в такому виборі основної диференціальної форми, при якій система правильно відображає ці співвідношення в нескінченно малому елементі світу і в порядку інтегрування дає можливість висловити процеси кінцеві в часі і просторі.
Роль геометрії в природознавстві досягла в цьому задумі свого кульмінаційного пункту. Було поставлено питання про геометризації фізики. Сама, можливість такої постановки питання достатньо показова. Більш того, можливість і тих досягнень, які Ейнштейну вдалося отримати, заснована, якщо можна так висловитися, на геометризації самої римановой геометрії.
Висновок
Неевклидова геометрія зіграла величезну роль у всій сучасній математиці, і фактично в теорії геометризованной гравітації марселя Гросмана-Гільберта-Ейнштейна (1913-1915). Досить несподівано, ще раніше була встановлена ​​в'язь кінематики Лоренца-Пуанкаре з геометрією Лобачевського. У 1909 році Зоммерфельд показав, що закон додавання швидкостей даної кінематики пов'язаний з геометрією сфери уявного радіуса (подібне співвідношення вже відзначали Лобачевський і Бояй). У 1910 році Варічак вказав на аналогію даного закону складання швидкостей і складання відрізків на площині Лобачевського.
Припущення Лобачевського, що реальні геометричні відносини залежать від фізичної структури матерії, знайшло підтвердження не тільки в космічних масштабах. Сучасна теорія квант все з більшою настійністю висуває необхідність застосування геометрії, відмінної від евклідової, до проблем мікросвіту.
Геометрія претендує як найбільш потужного знаряддя точного природознавства на оволодіння механікою і фізикою, вона стоїть у вершини людського знання. Чи вдасться Щоб їй дійсно виконати цей задум, чи збереже вона це домінуюче місце або в порядку іншого подолання розростаються протиріч вона повинна буде його поступитися, - це питання майбутнього, бути може, не настільки далекого.
Геометрія вивчає форми, розміри, взаємне розташування предметів незалежно від їх інших властивостей: маси, кольору і так далі. Геометрія не тільки дає уявлення про фігури. їх властивості. взаємне розташування, а й вчить міркувати, ставити питання, аналізувати, робити висновки, тобто логічно мислити.
.

Література

1. Дем'янов В.П. Геометрія і Марсельєза. - М.: Знання, 1986.
2. Каган В.Ф. Нариси з геометрії. - М.: Московський університет, 1963.
3. Математика XIX століття. - М.: Наука, 1981.
4. Свєчніков А.А. Подорож в історію математики або як люди навчилися рахувати. - М.: Просвещение, 1995.
5. Юшкевич А.П. Історія математики в Росії. - М.: Наука, 1968.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Реферат
85.4кб. | скачати


Схожі роботи:
Історія геометрії
Історія розвитку нарисної геометрії
Походження геометрії
Виникнення геометрії
Задачі з геометрії
Алгоритми інопланетної геометрії
Застосування нарисної геометрії у геодезії
Визначники та їх застосування в алгебрі і геометрії
Місце прямий в нарисної геометрії
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru