Імітаційне моделювання в аналізі ризиків інвестиційного проект

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.


Нажми чтобы узнать.
скачати

РЕФЕРАТ
Імітаційне моделювання в аналізі ризиків інвестиційного проекту

Зміст
  Введення
1. Місце методу Монте-Карло в кількісному аналізі ризиків інвестиційного проекту
2. Схема реалізації методу Монте-Карло в інвестиційних розрахунках
2.1. Побудова математичної моделі
2.2. Здійснення імітації
2.3. Аналіз результатів
Висновок
Список використаної літератури

Введення
Одним з методів, що дозволяють враховувати вплив невизначеності на ефективність інвестиційного проекту є імітаційне моделювання за методом Монте-Карло, яке можна віднести до групи теоретико-імовірнісних методів. Дані методи відрізняються великою теоретичної складністю і малої можливістю їх практичного застосування. Особливе місце в ряду цих методів займає імітаційне моделювання. Реалізація цього способу аналізу ризиків складна і вимагає розробки спеціального програмного забезпечення, але результати аналізу відіграють важливу роль як при оцінці впливу невизначеності на показники ефективності, так і при визначенні загального рівня ризику інвестиційного проекту. Проведення імітаційного моделювання по метопу Монте-Карло засноване на тому, що при відомих законах розподілу екзогенних змінних можна за допомогою певної методики отримати не єдине значення, а розподіл результуючого показника (побудувати гістограму в загальному випадку, або підібрати теоретичний закон розподілу ймовірностей). Підбір законів розподілу екзогенних змінних здійснюється як на даних об'єктивних спостережень (статистики і т.д.), так і на експертних оцінках. У імітаційному моделюванні використовується математичний апарат імітації за методом Монте-Карло, який застосовується для опису процесів, що мають імовірнісну природу.

1. Місце методу Монте-Карло в кількісному аналізі ризиків інвестиційного проекту
При розробці та експертизі інвестиційного проекту питання про його ефективність вирішується на основі аналізу значень різних інтегральних показників - NPV, IRR, РВ, PI і т.д. Але всі розрахунки проводяться для базового варіанту інвестиційного проекту, реалізація якого, на думку розробників, найбільш правдоподібна. У даній ситуації будується тільки одна модель прогнозних потоків грошових коштів. І ця модель є моделлю прийняття рішень в умовах визначеності.
Передумова про повну визначеності призводить до значного спрощення дійсності при моделюванні. На практиці не можна бути повністю впевненим, що при реалізації інвестиційного проекту всі грошові потоки будуть в точності відповідати прогнозним. Навпаки, з моменту реалізації проекту на кожному етапі буде виникати все більше і більше розбіжність між прогнозними і реальними грошовими потоками. Може навіть виникнути ситуація, що затримки в оплаті продукції, зростання цін на імпортні матеріали у зв'язку зі зміною валютного курсу, зміна податкових ставок або інші негативні події призведуть до повного краху проекту або, як мінімум, до істотних додаткових витрат. Виникають питання: Як оцінити стійкість проекту до змін зовнішнього середовища? Як кількісно виміряти ризик, пов'язаний з усім проектом в цілому? Застосування імітаційного моделювання за методом Монте-Карло в інвестиційних розрахунках дозволяє відповісти на ці питання.
Слід зазначити, що проведення ризик-аналізу за методом Монте-Карло не виключає здійснення на попередньому етапі стандартних інвестиційних розрахунків. Даний метод скоріше є інструментом, який покращує їх результати. Наявність хорошої вихідної моделі інвестиційного проекту - це необхідна база для проведення значущого, результативного імітаційного моделювання. Результати порівняльного аналізу стандартних інвестиційних розрахунків і ризик-аналізу за методом Монте-Карло наведено в табл. 1.
Таблиця 1.
Стандартні інвестиційні розрахунки і ризик-аналіз за методом Монте-Карло
Критерії порівняння
Стандартні інвестиційні розрахунки
Ризик-аналіз за методом Монте-Карло
Змінні
Детерміновані (значення точно визначені)
Є випадковими величинами з заданими законами розподілу
Модель
Модель грошових потоків
Модель грошових потоків
Процес
Розрахунок одного прогнозного варіанту (сценарію) реалізації проекту
Розрахунок великої кількості випадкових варіантів (сценаріїв) реалізації проекту
Результат
Єдине значення інтегрального показника ефективності проекту
Розподіл ймовірностей інтегрального показника ефективності проекту
Вже зазначалося, що метод Монте-Карло, будучи одним з найбільш складних методів кількісного аналізу ризиків, долає недоліки аналізу чутливості та аналізу сценаріїв. Обидва цих методу показують вплив певного зміни у величині однієї або декількох змінних на показник ефективності проекту (наприклад, NPV).
Основні недоліки цих методів і способи їх усунення за допомогою методу Монте-Карло вказані в табл. 2.

Таблиця 2.
Усунення недоліків аналізу чутливості та аналізу сценаріїв при використанні для ризик-аналізу методу Монте-Карло
Метод
Недолік
Рішення за допомогою імітаційного моделювання
Аналіз чутливості
Не враховується наявність кореляції між різними складовими проекту
Кореляція моделюється різними методами і враховується в моделі
Розглядається вплив тільки однієї варійованої змінної при інших незмінних складових проекту
З'являється можливість одночасно моделювати випадкові зміни декількох складових проекту з обліками умов корельованості
Аналіз сценаріїв
Потрібно проведення серйозних підготовчих робіт з відбору та аналітичної переробки інформації для створення декількох сценаріїв
Сценарії є випадковими і формуються автоматично при реалізації алгоритму метопа Монте-Карло
Межі сценаріїв розмиті, а побудовані оцінки значень змінних для кожного сценарію в деякій мірі довільні
Сценарії формуються виходячи з діапазонів можливих змін випадкових величин і підібраних законів розподілу
Розглядається ефект обмеженого числа можливих комбінацій змінних; зростання числа сценаріїв і зростання числа змінних змінних ускладнює моделювання
Кількість випадкових сценаріїв може бути як завгодно велике, тому що процес імітації реалізований у вигляді комп'ютерної програми, існує метод вибору необхідного числа сценаріїв, що гарантує з певною ймовірністю надійність результатів моделювання

2. Схема реалізації методу Монте-Карло в інвестиційних розрахунках
У загальному випадку методом Монте-Карло називають чисельний метод рішення математичних задач за допомогою моделювання випадкових величин.
Теоретичний опис методу з'явилося в 1949 р . у статті «The Monte Carlo method». Творцями цього методу вважають американських математиків Дж. Неймана і С. Улама. Назва метопу дав відомий своїми казино місто Монте-Карло в князівстві Монако, так як саме рулетка є найпростішим механічним приладом з реалізації процесу отримання випадкових чисел, що використовується в даному математичний метод. Область застосування методу Монте-Карло досить широка. В якості прикладів можна привести розрахунок систем масового обслуговування, розрахунок якості та надійності виробів, обчислення певного інтеграла і ін
Схема використання методу Монте-Карло в кількісному аналізі ризиків така: будується математична модель результуючого показника як функції від змінних і параметрів. Змінними вважаються випадкові складові проекту, параметрами - ті складові проекту, значення яких передбачаються детермінованими. Математична модель перераховується при кожному новому імітаційному експерименті, протягом якого значення основних невизначених змінних вибираються випадковим чином на основі генерування випадкових чисел. Результати всіх імітаційних експериментів об'єднуються у вибірку і аналізуються за допомогою статистичних методів з метою отримання розподілу ймовірностей результуючого показника і розрахунку основних вимірників ризику проекту.
Застосування методу Монте-Карло в інвестиційних розрахунках вимагає створення спеціального програмного забезпечення.
Розробка комп'ютерного забезпечення потрібна з наступних причин:
1) здійснюється багаторазове повторення імітаційних експериментів (більше 100 повторень);
2) використовувані моделі складні (велика кількість змінних, облік функцій розподілу, умов кореляції і т.д.);
3) обробка результатів імітації значно спрощується;
4) полегшувався демонстрація методу в процесі навчання.
Процес ризик-аналізу за методом Монте-Карло може бути розбитий на три етапи: математична модель, здійснення імітації, аналіз результатів.
Перш ніж перейти до докладного розгляду даних етапів, хотілося б відзначити, що застосування методу Монте-Карло можливо для розрахунку різних характеристик проекту: інтегральних показників ефективності проекту, показників рентабельності здійснюється в рамках проекту діяльності, дослідження мережевого графіка реалізації проекту з випадковими длительностями етапів, моделювання запасів продукції і матеріалів на складі і т.д. Але в даному випадку мова йде про конкретному прикладі імітаційного моделювання ефективності проекту.
Таким чином, під базовим варіантом інвестиційного проекту розуміється таблиця грошових потоків даного проекту (ступінь її деталізації залежить від бажання дослідника), під результуючим показником - який-небудь з інтегральних показників ефективності.
2.1 Побудова математичної моделі
Першим етапом в процесі ризик-аналізу є створення математичної моделі. Так як для проведення власне імітаційного моделювання за методом Монте-Карло застосовується комп'ютерна програма, самим головним процесом в імітаційному моделюванні є саме формулювання моделі проекту. Кожен інвестиційний проект потребує створення своєї унікальної моделі. Тому її конкретний вид - повністю продукт творчості розробника.
Основна логіка процедури побудови моделі полягає в наступному: визначення змінних, які включаються в модель, визначення типу розподілу, якій ці змінні наражаються визначення взаємозалежності (функціональної і імовірнісну залежності між змінними).
Дотримання такої процедури необхідно для створення моделі, яка буде виглядати наступним чином:
NPV = f (x 1 ,..., х i ,..., x n; a 1 ,..., a j ,..., a m),
де х i - ризик-змінні (складові грошового потоку, що є випадковими величинами);
n - число ризик-змінних;
a j - фіксовані параметри моделі, тобто, ті складові грошового потоку, які в результаті попереднього аналізу були визначені як незалежні або малозалежні від зовнішнього середовища і тому розглядаються як детерміновані величини;
m - кількість параметрів моделі.
Визначення змінних, які включаються в модель, є самостійним етапом ризик-аналізу, що відображає перш за все результати дослідження ризиків на якісному рівні. Наприклад, проведення опитувань експертів дозволяє виділити найбільш «вузькі» місця проекту.
Крім того, важливу роль у відборі «ключових» змінних відіграє аналіз чутливості, що здійснюється шляхом розрахунку рейтингу еластичностей. На підставі рейтингу еластичностей відбираються найбільш схильні до ризику змінні, тобто ті, коливання яких викликають найбільші відхилення результатів проекту. Вони і можуть бути включені в модель.
Однак рішення про включення змінної в модель має прийматися на підставі кількох факторів, зокрема:
1) чутливості результату проекту до змін змінної;
2) ступеня невизначеності змінної (тобто можливим діапазонам її зміни).
При формуванні моделі необхідно намагатися виділити в якості ризик-змінних тільки найбільш важливі, значущі змінні. Причини обмеження кількості ризик-змінних в моделі такі:
1) збільшення кількості залежних змінних моделі збільшує можливість отримання суперечливих сценаріїв через складність в обліку і контролі залежності і корелюється;
2) із зростанням числа змінних зростають витрати (фінансові і часові), необхідні для коректного та акуратного визначення їх розподілу ймовірностей і умов корелюється.
Якщо не обумовлено умова ймовірнісної залежності ризик-змінних, то вважається, що змінні є незалежними і підкоряються деяким законом розподілу.
Закон розподілу задає ймовірність вибору значень в рамках певного діапазону. Стандартні інвестиційні розрахунки використовують один вид розподілу ймовірностей для всіх проектних змінних, включених у розрахункову модель - детермінована розподіл, коли конкретне єдине значення змінної вибирається з імовірністю, що дорівнює одиниці (р = 1). Отже, базова модель інвестиційного проекту може розглядатися як детермінований аналіз та приватний випадок імітаційної моделі для детермінованих ризик-змінних.
Для кожної ризик-змінної, що є випадковою величиною, в процесі створення моделі необхідно підібрати вид розподілу.
Завдання підбору закону розподілу складна перш за все із-за обмеженості статистичних даних. На практиці найчастіше використовують наступні закони розподілу ймовірностей: нормальний, трикутний, рівномірний, дискретний.
Алгоритм рішення задачі підбору закону розподілу:
1) визначити можливі межі зміни ризик-змінної (межі діапазону);
2) вибрати загальний вид закону розподілу;
3) з урахуванням діапазону зміни змінної і загального вигляду оцінити основні числові характеристики закону розподілу (безперервний випадок) або приписати можливих значеннях ризик-змінної ймовірності їх реалізації (дискретний випадок).
Як випливає з вищевикладеного, процес підбору законів розподілу є в значній мірі творчим процесом, вимагає аналізу різного виду інформації і погано піддається формалізації.
Необхідно зазначити, що проблема вибору типу розподілу ймовірностей дуже важлива, оскільки точність підбору закону розподілу при заданих межах зміни ризик-змінних безпосередньо впливає на якість моделі і точність оцінки. Розподілу ймовірностей NPV та інші результати моделювання.
Відсутність обліку ймовірнісної залежності змінних, зокрема, корельовані, може призвести до помітних спотворень результатів статистичного моделювання. Включення ймовірнісно залежних ризик-змінних в математичну модель інвестиційного проекту може призвести до серйозних перекручувань характеристик стійкості проекту, якщо умова залежності не буде враховано в математичній моделі. Ступінь зсуву результатів залежить від важливості ймовірнісно залежних змінних по відношенню до проекту. Тому проводиться спеціальний етап встановлення наявності імовірнісної залежності, зокрема, кореляції між змінними та пошуку можливостей її обліку в моделі. Це стосується як парній, так і множинної кореляції.
2.2 Здійснення імітації
Основним етапом імітаційного моделювання, в рамках якого з допомогою комп'ютерної програми і реалізований алгоритм методу Монте-Карло, є етап здійснення імітації. Він виконується в такий спосіб:
1. Генерування випадкових чисел проводиться шляхом комп'ютерної операції отримання псевдовипадкових чисел, незалежних і рівномірно розподілених на відрізку [0; 1]. Кожне нове отримане випадкове число розглядається як значення функції розподілу для відповідної ризик-змінної.
2. Значення кожної незалежної ризик-змінної відновлюється як аргумент функції розподілу ймовірностей даної ризик-змінної. При цьому враховується існування ймовірнісної залежності.
3. Значення змінних величин підставляються в модель і розраховується інтегральний показник ефективності проекту (NPV або інший показник, наприклад, IRR, PI і т.д.)
4. Викладений у пп. 1-3 алгоритм повторюється n разів. Результати моделювання (тобто NPV проекту або інший показник), таким чином, розраховуються і зберігаються для кожного імітаційного експерименту.
Кожен імітаційний експеримент - це випадковий сценарій. Кількість імітаційних експериментів або випадкових сценаріїв повинно бути досить велика, щоб зробити вибірку репрезентативною стосовно до нескінченного числа можливих комбінацій.
Розмір випадкової вибірки n залежить від кількості змінних в моделі, від діапазону значень ризик-змінних і від бажаної точності отримання результатів.
На цьому ж етапі виникає проблема визначення похибки результатів моделювання в залежності від кількості виконаних імітаційних експериментів. Вибір (n) має величезне значення для оцінки якості моделі, тобто точності подбираемого закону розподілу NPV та його характеристик.
2.3 Аналіз результатів
Фінальним етапом процесу ризик-аналізу є аналіз та інтерпретація результатів, отриманих на етапі імітації.
Аналіз результатів імітаційного моделювання можна розділити на два типи: графічний аналіз та аналіз кількісних показників.
Результатом проведення імітаційних експериментів є вибірка з n значень NPV (або іншого результуючого показника). Імовірність кожного випадкового сценарію дорівнює:
P (i) = 1 / n,
де n - кількість імітаційних експериментів.
Отже, ймовірність того, що проектний результат буде нижче певного значення дорівнює кількості результатів, при яких значення показника було нижче за це значення, помноженому на вірогідність реалізації одного спостереження.
Побудувавши графік кумулятивного розподілу частот появи результатів, можна розрахувати значення ймовірності того, що результат проекту буде нижче або вище заданого значення.
Для проведення графічного аналізу необхідно побудувати функції розподілу ймовірностей і щільності розподілу ймовірностей результуючого показника (NPV або іншого). У проектному аналізі вони називаються відповідно кумулятивним профілем ризику та профілем ризику.
Таким чином, необхідно побудувати гістограму NPV. Побудова гістограми є важливим моментом в аналізі результатів імітаційного моделювання, так як вона дозволяє підібрати закон розподілу результуючого показника. За отриманим масиву NPV будується варіаційний ряд, тобто значення NPV ранжуються від мінімального до максимального.
Гістограма будується шляхом розбиття варіаційного ряду на k інтервалів групування. Вибір k здійснюється відповідно до рекомендацій математичної статистики. Далі оцінюється узгодженість емпіричних даних з підбираються законом розподілу за допомогою критерію згоди х 2.
Стандартні дисконтовані критерії прийняття інвестиційного рішення, зазвичай вживані в детермінованому аналізі, зберігають своє значення і для даного методу. Однак, оскільки ризик-аналіз надає особі, що приймає рішення, додаткову інформацію про проект, інвестиційне рішення може бути відповідним чином змінено. Фінальне рішення, тому, суб'єктивно і приймається майже завжди в залежності від ставлення (схильності) інвестора до ризику.
Загальне правило полягає в тому, що вибирається проект з таким розподілом ймовірностей доходу, яке більше відповідає схильності до ризику особи, яка приймає рішення (ОПР). Якщо ОПР є «схильним до ризику», воно з більшим ступенем імовірності вибере для інвестування проекти з відносно високим значенням NPV, звертаючи менше уваги на пов'язаний з цим ризик (розкид щодо середнього значення, значну ймовірність реалізації неефективного проекту і т.д.). Якщо ОПР дуже «неприхильність до ризику», то швидше за все воно вибере для інвестування проекти з невеликим, але достатньо безпечним значенням (менш ризиковим) NPV.
Припускаючи, що ОПР нейтрально за ризиком, розглянемо ситуації, пов'язані з ухваленням рішення у випадку єдиного і в разі альтернативних (взаємовиключних) проектів. Рішення приймається, виходячи з графічного відображення розподілу ймовірностей (частот) NPV. Функція розподілу ймовірностей NPV частіше застосовується для прийняття рішень, що стосуються взаємовиключних проектів, в той час. Як щільність розподілу ймовірностей краще застосовувати для виявлення моди розподілу і для аналізу показників, що використовують очікуване значення.
Як було відзначено, аналіз кількісних вимірників ризику проводиться для такого показника ефективності інвестиційного проекту, як NPV, але аналогічні розрахунки можуть бути проведені і для інших показників ефективності.
Очікуване значення. Показник очікуваного значення являє собою агрегування у вигляді однини всієї інформації, наявної в розподілі ймовірностей NPV.
Цей показник є одним з формальних вимірників ризику і підсумовує інформацію, що міститься у розподілі ймовірностей. Це зважена середня значень всіх можливих результатів. Ваги є ймовірностями, приписуваними кожному результату:
EV (expected value) = (NPV i, × р i).
Очікуване значення може бути надійною оцінкою ризику (тобто використовуватися як індикатор ризику) тільки в ситуації, яка повторюється досить велику кількість разів. Одним з прикладів є ризики страхових компаній, які зазвичай пропонують однаковий контракт (страховий поліс) великому числу клієнтів. У розрахунках імітаційних проектів (які є унікальними за своєю суттю) показник очікуваного значення має завжди використовуватися в комбінації з показником варіації, таким, наприклад, як стандартне відхилення, або, для забезпечення порівнянності при оцінці альтернативних проектів, з коефіцієнтом варіації.
Очікувані втрати. Показник очікуваних втрат визначається як сума «зважених за ймовірностями» від'ємних значень NPV:
EL (expected losses) = ( , × р i).
де - Негативні значення NPV;
m - число негативних значень NPV в отриманій вибірці.
Очікуваний виграш. Показник очікуваних втрат визначається як сума «зважених за ймовірностями» позитивних значень NPV:
EG (expected gains) = ( , × р i).
де - Позитивні значення NPV;
k - число позитивних значень NPV в отриманій вибірці.
Таким чином, очікуване значення, безумовно, є сумою очікуваного виграшу і очікуваних втрат:
EV = EG + EL.
Дисперсія і середнє квадратичне відхилення. Дисперсія і середнє квадратичне відхилення показують наскільки великий розкид значень NPV щодо очікуваного значення.
Дисперсія розраховується за формулою:

Середнє квадратичне відхилення визначається як корінь з дисперсії:

Дисперсія і середнє квадратичне відхилення є абсолютними вимірниками ризику.
Коефіцієнт варіації. Коефіцієнт варіації (Var) є широко застосовуваним показником проектного ризику. Коефіцієнт варіації визначається за формулою:

Коефіцієнт варіації є відносною мірою ризику, так як абсолютне значення середнього квадратичного відхилення нормується на значення очікуваного доходу. При позитивному математичному очікуванні, чим нижче коефіцієнт варіації, тим менше розкид показника ефективності імітаційного проекту щодо його очікуваного значення. До недоліків цього показника слід віднести те, що він враховує і позитивні і негативні відхилення від очікуваного значення.
Коефіцієнт очікуваних втрат. Показник коефіцієнт очікуваних втрат є показником, що вимірює величину очікуваних втрат по відношенню до суми очікуваних виграшу і взятих по модулю очікуваних втрат.

Коефіцієнт ELR, визначений таким чином, може змінюватися від 0 (відсутність очікуваних втрат) до 1 (відсутність очікуваного виграшу).
Цей показник можна вважати хорошим вимірником ризику, так як він є безрозмірною величиною і вимірює ризик як можливість втрат.
Імовірність реалізації неефективного проекту.

де m - число негативних значень NPV в отриманій вибірці;
n-число проведених імітаційних експериментів, (розмір вибірки).
Імовірність реалізації неефективного проекту обчислюється на основі результатів випробувань, отриманих після проведення імітації. Цей показник також є гарним критерієм оцінки ризикованості проекту, так як є безрозмірним і визначає ризик як можливість втрат. У той же час імовірність реалізації неефективного проекту може розглядатися як вимірювач стійкості проекту. Чим менше його значення, тим проект стійкіше, і в цілому менш ризикований.
Таким чином, на основі наявної характеристики вимірювачів ризику інвестиційного проекту, можна зробити висновок, що найкращими показниками є ймовірність неефективного проекту і коефіцієнт очікуваних втрат. Обидва цих індикатора ризику мають властивість безрозмірними, що дозволяє з їхньою допомогою порівнювати ризикованість альтернативних проектів, забезпечує порівнянність порівняння рівнів ризику для різних проектів. Крім того, вони вимірюють ризик як можливість отримання негативних результатів, що відповідає завданням ризик-аналізу.

Висновок
Метод імітаційного моделювання Монте-Карло є розвитком сценарного підходу до аналізу ризиків і одночасно може бути віднесений до групи теоретико-імовірнісних методів аналізу ризику. На основі статистичних даних та експертних оцінок аналітиками підбираються закони розподілу деяких з складових проекту, а на підставі повторюваних імітаційних експериментів із заданим рівнем точності можна підібрати закон розподілу результуючого параметра і обчислити його основні характеристики: математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення.
Імітаційне моделювання складається з трьох етапів: побудова математичної моделі, здійснення імітації, аналіз результатів.
На етапі побудови математичної моделі вибираються ризик-змінні (випадкові складові грошових потоків проекту) на основі рейтингу еластичностей та оцінки прогнозованості змінної, за наявними статистичними даними та експертної інформації для кожної ризик-змінної підбирається закон розподілу, враховуються умови ймовірнісної залежності змінних.
Імітація здійснюється з використанням спеціально розроблених комп'ютерних програм, кількість проведених імітаційних експериментів може бути вибраний з допомогою методів математичної статистики.
Комплексний підхід до оцінки ризику, реалізований при застосуванні методу Монте-Карло, полягає в тому, що аналітик отримує різні показники: розподіл ймовірностей результуючої проектної змінної; оцінки середнього значення, середнього квадратичного відхилення та коефіцієнта варіації результуючого показника; будь-які інші спеціальним чином сконструйовані вимірники ризику (коефіцієнт очікуваних втрат, ймовірність реалізації неефективного проекту).
Прийняття інвестиційних рішень може грунтуватися на результатах візуального аналізу, тобто вивчення профілю ризику та кумулятивного профілю ризику, отриманих в результаті імітаційного моделювання.
Важливими вимірниками інтегральної ризикованості проекту є індекс очікуваних втрат і ймовірність реалізації неефективного проекту.

Список використаної літератури
1. Грачова М.В. Ризик-аналіз інвестиційного проекту. - М.: ЮНИТИ, 2007.
2. Еддоус М., Стенсфілд Р. Методи прийняття рішень. - М.: Вищ. школа, 2003.
3. Віленський П.Л. Оцінка ефективності інвестиційних проектів. - М.: Справа, 2007.
4. Смоляк С.А. Оцінка ефективності інвестиційних проектів в умовах ризику і невизначеності. - М.: Наука, 2008.
5. Лукасевич І.Я. Аналіз фінансових операцій. - М.: ЮНИТИ, 2004.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Фінанси, гроші і податки | Контрольна робота
66.7кб. | скачати


Схожі роботи:
Імітаційне моделювання системи фазового автопідстроювання частоти в пакеті моделювання динамічних
Імітаційне моделювання
Імітаційне моделювання на виробництві
Імітаційне моделювання на виробництві
Імітаційне структурне моделювання системи
Імітаційне моделювання виробничого процесу
Імітаційне моделювання в контексті управлінського прогнозування
Імітаційне моделювання роботи обчислювального центру
Імітаційне моделювання на основі попередньо встановлених залежностей
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru